12. 1. 2012 Matoušek (Předtermín)

Každý dostal jeden lísteček L (lehčí) a jeden buď T (těžší), nebo P (příklad). Na přípravu bylo (prý) dvacet až třicet minut, pak nás začali obcházet.

30?L
Rozhodněte, zda je následující výrok správný: řádkový prostor matice AB je obsažen v řádkovém prostoru matice B kdykoli je součin definován.

41T
U je vektorový prostor, V a W jeho podprostory, dim(V) + dim(W) > dim(U). Dokažte, že existuje nenulový vektor v náležející průniku V a W. Nápověda: použijte Steinitzovu větu.

Hodně štěstí!

Další příklady:

1. U vektorový prostor, f zobrazení z něj. Rozhodněte, jestli dim f(U)+rank f = dim U

2. v systému generátorů {(2,3,1),(3,0,2),(0,1,1),(4,5,5)} najděte bázi..

a ještě extra jsem měl napsat Steinitze :)

1. Nech je daný n-dimenzionálny vektorový priestor V a nejaká ľubovoľná sústava n generátorov V. Je tá sústava báza V? Zdôvodniť.

2. Nech A, B sú matice typu m x n. Dokážte, že rank(A + B) <= rank(A) + rank(b). Uveďte príklad matíc, pre ktoré je nerovnosť ostrá a pre ktoré nastane rovnosť.

Doplňujúca: Definujte maticu lineárneho zobrazenia.

1.) V odstupnovanom tvare matice A nie je ziadny nulovy riadok. Dokazte ze existuje matica $A^{-1}$.
2.) Ukazat ze mnozina prostych zobrazeni z mnoziny {1,2,... 2012} do tej istej mnoziny s operaciou skladania je grupa.

16 L
Vektory (v1, v2, v3, v4) jsou báze VP. Dokažte, že i (v1 + v3, v2 - v4, v4, v3) jsou báze. (nějak tak to bylo, už si přesně nepamatuji, co se tam s čím sčítalo/odečítalo...).

42 P
Máte matici A typu m x n, víte, že soustava Ax = b má (minimálně jedno) řešení pro každý vektor b z R^m, dokažte, že soustava (At)y = 0 (transponovaná matice k A) má právě jedno řešení. Byla tam nápověda. Něco ve stylu pokud nevíte, zkuste něco zjistit o řádkovém prostoru matice.

Pak se mě ještě ptal na pár otázek ohledně regulárních matic.

Hodně štěstí :-)

Já měla
L: Rozhodnete, zda nasledujici vyrok plati: pokud V je vektorovy prostor a U1 a U2 jeho vektorove podprostory, pak v nekterych pripadech je prunik U1 a U2 vektorovym podprostorem V, ale neplati to obecne.

T: něco jako že řešení homogenní sst se dá zapsat jako x_0 + Ker(A).... nebo tak něco a pak se mě ptal na afinní podprostory

L: Rozhodněte, zda platí, že pro všechna tělesa je 1 = -1.
P: Určete dimenzi řádkového prostoru matice, její jádro a určete, zda se jedná o isomorfismus.

Doplňující: Definice isomorfismu, Steinitzova věta a důkaz, mají-li dvě báze stejnou mohutnost, tak se rovnají.

Měl jsem sice jinej termín, ale je to celkem jedno...

L: Platí-li pro prvek tělesa a, že $a^2=0$, je pravda, že pak nutně a = 0?
(ano, je to pravda)

T: A, B reg. matice. Platí pak vždy, že A * B, resp. A + B jsou též regulární?
(součin ano, součet ne)

D: Může existovat vektorový prostor, který má přesně 25 vektorů?
(může, 25 je prvočíslo na alfa - $5^2$)

Zkouška byla pohodová - příjemná atmosféra a hodní zkoušející... Není se čeho bát, je to opravdu o tom, jestli tomu rozumíte... Hodně štěstí :)